凸函数的性质及应用

凸函数的性质及应用

1. 引言

凸(凹)函数是一类非常重要的函数,是分析学中的一朵奇葩。它的性质表述的明显性和证明时的技巧性奇妙的结合在一起，可将一个看似复杂的问题，在应用凸函数的性质稍加巧妙构思后，就可以游刃而解了。函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上的整体性态不仅可以更加科学，准确的描绘函数图象，而且有助于对函数的定性分析。故在数学与应用数学的诸多分支中有着广泛的应用,特别在误差估量和不等式的证明等方面.

    凸(凹)函数在实际运用中的重要性,故有不少学者对它的定义和性质的深入研究和讨论有着浓厚的兴趣.关于凸函数的理论基础主要是由琴生(J.L.W.V.Jensen)于1906年左右奠定的，1987年我国著名数学家李广兴和陈计加强了对琴生不等式的证明，1991年文家金等人又推广了他们的结论。当然在这期间还有很多的数学家和数学爱好者对它的定义，性质，应用进行了深入的研究和讨论，他们研究的主要问题有它的多种等价定义;函数的凸(凹)性;怎样根据函数的凸(凹)性找到函数图象的拐点,作出函数图象; 凸(凹)函数的有界性;（左，右）导数，连续性，以及凸(凹)函数的定积分和极限方面的知识，还有不少数学者延拓了凸(凹)函数在一元函数中的定义，把它放在了一个多元的领域里加以了研讨。