矩阵初等变换的若干应用

矩阵初等变换的若干应用

[摘要]

    使用矩阵的初等变换求解行列式、方程组是众所周知的。本文提出了使用初等变换求特征值和特征向量、求标准正交基、求过渡矩阵、求多项式的最大公因式、求n元一次不定方程的通解、求线性规划问题的一种新的尝试，进一步体现了初等变换的重要性和应用的广泛性。

[关键词]

　　矩阵　初等矩阵　初等变换　特征值　最大公因式　不定方程　多项式　标准正交基

一．引言

在高等代数中,初等变换是一个基本的概念,虽然算不上是重点也算不上是难点,但它是高等代数理论研究的一个必不可少的工具.在矩阵的应用中有着重要的作用.几乎在所有的高等代数书中,都已经介绍了利用矩阵的初等变换求行列式的值、求逆矩阵、判断线性方程组解的存在问题,判断向量组的线性相关性、求矩阵的秩.本文将介绍用初等变换求特征值与特征向量、标准正交基、过渡矩阵、多项式的最大公因式、n元一次不定方程的通解以及线性规划问题,对其应用方面的问题进行总结、归纳与拓展,从而介绍矩阵的初等变换的较多应用.

在介绍矩阵的初等变换的若干应用之前,我们先弄清楚矩阵初等变换的相关概念.

定义1 矩阵的行(列)初等变换指的是对一个矩阵施行下列变换: