函数项级数和无穷广义积分的收敛性判别

函数项级数和无穷广义积分的收敛性判别

[内容摘要]：通过判别函数项级数和无穷广义积分的收敛性的法则。讨论函数项级数的一致收敛性的判别法则，主要包括Cauchy准则，Weierstrass控制收敛判别法，Dirichlet和Abel判别法，针对例题分析所采用的判别法，总结了一般性的原则。通过讨论无穷广义积分的收敛性的判别，包括比较判别法，Cauchy准则，Dirichlet和Abel判别法，给出各种判别法则的使用原则与范围。

[关键词]： 函数项级数, 无穷广义积分, 收敛性, 一致收敛性。

收敛性是数学分析中一个重要的基本概念。事实上，极限作为数学分析的基础，每当谈及它，就必须讨论其收敛性，没有收敛性而谈极限就没有任何意义。

一、函数项级数的一致收敛性的判别：

在利用数学理论或计算机等工具描述自然界的现象时, 人们经常要对所研究的系统进行逼近和模拟, 需要研究逼近后的函数, 即极限函数的一些重要性质, 诸如连续性可微性等, 那么什么样的条件可以保证极限函数保持逼近函数的性质呢？这就产生了数学分析中的一个重要概念—- 一致收敛性。 本章我们将讨论函数项级数的一致收敛性的判别方法。 首先我们给出函数项级数的一致收敛性的基本定义，然后通过例题描述函数项级数一致收敛性的几种主要判别方法的用途，包括Cauchy 准则，Weierstrass 控制收敛判别法，Dirichlet判别法和Abel 判别法。