广义正定矩阵的性质

广义正定矩阵的性质

摘要 

正定矩阵在矩阵理论中占有十分重要的地位，它在几何学，物理学，概率论以及最优化理论等诸多学科中都得到了重要的应用，但是随着数学本身的发展以及应用矩阵其他科学的发展，人们越来越感到正定矩阵理论的不足，有不少人开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵。由于理论和统计，微分方程，经济学等实际问题的需要，国内外都有很多文章研究了各种类型的广义正定矩阵[1-15]，并取得了一些重要结果。本文在这些研究的基础上，进一步研究了采用“乘积对称化”技术对复Hermite(实对称)正定矩阵所作的推广，给出了这类广义正定矩阵的一些性质以及与稳定矩阵的关系。此外，还给出了一些容易忽视的需要注意的事项。对于每条性质以及每个注意事项，都给出了详尽的证明过程。

关键词 正定矩阵,广义正定矩阵,稳定矩阵。

一 引言

正定矩阵在矩阵理论中占有十分重要的地位，在实际中有非常广泛的应用。它在几何学，物理学，概率论以及最优化理论等诸多学科中都得到了重要的应用，但随着数学本身以及应用矩阵的其他学科的发展，越来越感觉到不能满足需要，于是，有不少人开始研究未必对称的较为广义的正定矩阵。

。仅就实矩阵而言，正定矩阵的概念有过多次推广，丰富了正定矩阵的理论，取得了许多新成果。对正定矩阵的推广有两个方向，一个为对矩阵加法的推广：