极限理论在数学分析中的地位及求极限的方法

极限理论在数学分析中的地位及求极限的方法

 

[摘要]：极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，是研究函数的主要工具之一。因此，全面掌握求极限的方法与技巧是提高高等数学课程的基本要求。本文通过九个例题围绕求数列极限与函数极限的核心问题探讨了求极限的常用方法。 

[关键词]：数列极限 函数极限 方法 

 

§1   极限理论在数学分析中的地位与作用

极限理论即是关于极限思想的理论。极限思想是近代数学的一种重要思想。数学分析就是以极限概念为基础，极限理论（包括级数）为主要工具来研究函数的一门学科。

和一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限思想可追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴涵了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。直到16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改造了古希腊人穷竭法。他借助于几何直观，大胆地运用了极限思想思考问题，如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向。”①伴随着微积分的建立进一步促进了极限理论的发展。到了19世纪，法国科学家柯西在前人牛顿、莱布尼茨等工作的基础上，比较完善地阐述了极限概念及其理论，但真正严格地定义极限的静态的定义的数学家，则是准尔斯特尔斯。他借助不等式