全对称不等式和轮换对称不等式及其证法

全对称不等式和轮换对称不等式及其证法

[摘要]全对称不等式和轮换对称不等式是两种比较特殊的不等式。本文主要归纳了两者的性质，并总结了全对称不等式和轮换不等式几种比较巧妙的证明方法，并举例说明他们各自在这两类不等式证明中常起到的简洁有效的作用。

[关键词]完全对称  轮换对称  定元  分析

在不等式证明中，我们常遇到一些形式比较特殊的不等式，这些不等式有两大特点，一是变量多，另外一点就是关于变量有一定的对称性。下面我们就来研究两类比较特殊的不等式：全对称不等式和轮换对称不等式。

1、全对称不等式和轮换对称不等式的定义。

定义1 在一个不等式中，若把任意两个字母ai和aj（i，j＝1,2，…，n，且i≠j），交换后这个不等式不变，我们便称这个不等式是关于ai和aj对称的。这样的不等式我们称之为完全对称不等式，简称为全对称不等式。

定义2 在一个不等式中，如果把不等式的字母按一定次序替换，如将a1替换a2， a2替换a3，…，an-1替换an，an替换a1，后不等式不变，我们便称此不等式是关于a1、a2、…an轮换对称的。这样的不等式我们称之为轮换对称不等式。