内积空间与二次型

内积空间与二次型

【摘要】事实上，一个向量空间上具有一个内积，即Hilbert空间，与一个向量空间上定义一个距离是等价的，利用向量的平行四边形法则可以证明二者的等价性。高等代数中，有关有限维向量空间上的二次型问题正是研究不同的内积形式的空间的等价性。通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。

【关键词】内积空间  二次型  线形函数

一、引入

设P是一个非空集合，若P上有两个代数运算，一个记为加法＋，一个记为乘法×（或，或省略不计），如果P关于＋构成交换群，而且P出去加法的零元关于×也构成交换群，加法和乘法满足左右分配律，那么P关于给定的加法和乘法构成域（2）。例如：有理数；实数域；复数域等。线性空间是一个代数和集合基本的数学结构。一般而言，称V是一个域P的线性空间，如果存在一个P中元素与V中元素的纯量乘法，V关于V上的一个加法构成V上的一个交换群，这个纯量乘法和V上的向量加法要满足一些运算法则（3）；线性空间也被称为向量空间。例如：一个域P上的所有一元多项式全体构成P上的向量空间。向量空间的维数被定义为V中以P中元素线性系数的极大无关组的向量个数。如上例的线性空间的维数为无穷维。还有如闭区间上的所有连续函数的全体；我们通常意义下的实平面看作实数域上的线性空间是二维的。如果线性空间中一个非空子集，根据原有运算仍旧构成空间，那么称为原空间的子空间。