求定积分的几种基本方法

求定积分的几种方法

[摘 要] 人们在研究如何计算由平面曲线围成的区域的面积和曲线段的弧长，由曲面围成的立体体积问题等几何问题时引入了积分学。引入定积分概念时，曾把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程表示为和式的极限，即用定积分来加以度量。在实际工程计算中采用“分割、取和、求极限”的方法去度量实际量得到了广泛的应用。随着对定积分的研究深入，逐步总结出较多求解定积分的不同方法。其中包括：定义法、牛顿-莱布尼兹公式法、凑微分法、换元法、分步积分法等。对于不同形态定积分采用不同种方法可简化解题步骤，优化运算过程。

[关键词] 定积分 计算 方法

考察这样一个问题：求曲边梯形的面积。此曲边梯形是由连续曲线y=f(x)、y=0、直线x=a、x=b所围成。现假定f(x)≥0,x∈ [a,b]。求此曲边梯形面积的思想方法是：先将梯形分成许多细长条，每个细长条可以近似地看成一个小矩形，那么所有这些小矩形面积的和就是曲边梯形面积的一个近似值。长条分得越细，这个近似值就越接近于曲边梯形面积的值。于是，通过取极限，就可以得到面积的真值。最后， 由于分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值。