微分方程平衡点的稳定性及在力学中的应用

微分方程的稳定性及在力学中的应用

稳定性是系统的一个重要特性，对系统运动的稳定性态的分析与控制理论的一个重要组成部分。李雅普诺夫以函数（）和的几何解释为基础，建立了关于系统零解的稳定性的判别准则——李雅普诺夫直接法。该法的优点是不需要方程组的解而直接进行判断。对于方程组的非零解通常是先作变化，将其转化为零解再进行判断。为此，本文推广李雅普诺夫直接法，从而无须作变化就可以研究非零解的状态。

1.稳定性的基本概念和理论

1.1稳定的定义

考虑一个动力系统，用微分方程表示为

                       （1.1） 

这里时间，向量，为中的一个区域。设在区域内连续，并对满足利普希兹条件。

下面给出方程（1.1）的解

定义1   若对任意的正数,存在,使对任意一个满足

                     （1.2）

的,方程（1.1）以为初值条件的解在区间[有定义,且对一切,有

                 （1.3）

则称方程（1.1）的解是稳定的;否则,称（1.1）的解是不稳定的。

定义2    若方程（1.1）的解是稳定的,且存在,使对任意一个满足的,,方程(1.1)以为初值条件的解有

                      

则称(1.1)的解是渐进稳定的.