分块矩阵的初等变换及其应用

分块矩阵的初等变换及其应用

摘  要：由分块初等矩阵的概念，给出了分块矩阵在求行列式的值、矩阵的逆以及矩阵秩等方面的应用.

关键词：分块矩阵；可逆矩阵；行列式；矩阵的秩 

矩阵是高等代数的一个重要内容，是线性代数的主要研究对象之一。它的应用不仅限于线性方程组，而是多方面的。对于阶数较低的矩阵我们可以将其进行初等变换，从而有效的处理许多代数问题.那么，对于阶数较高的矩阵，可以先将其进行分块，再将矩阵的初等变换的做法推广到分块矩阵的情形。从而使有关矩阵的一些问题得以简洁。

1 定义

分块初等矩阵.

定义1 对分块矩阵施行如下变换称为分块初等变换：

（1） 变换两行（列）的次序；

（2） 用一可逆矩阵左乘（右乘）某一行（列）的所有子矩阵；

（3） 用一矩阵左乘（右乘）某一行（列）的各个矩阵后加到另一行（列）相应的各个子矩阵上.

定义2 将单位矩阵分块经过一次分块初等变换后所得的矩阵称为分块初等矩阵.