关于Hausdorff测度与Lebesgue测度的若干相关性质
[内容摘要]： 本文利用大学本科所学的测度论知识推导了维Hausdorff测度的若干与Lebesgue测度类似和相关的性质，讨论了所涉及的Vitali-覆盖引理、Caratheodory引理等工具的推广情形，以及在整数维情形下Hausdorff测度与Lebesgue测度的等价性。在本文最后举例对Hausdorff测度与Lebesgue测度进行了比较和分析。
[关键词] Hausdorff测度、Lebesgue测度、外测度、Borel集、正则测度、域、Vitali-覆盖
一 序言
集合测度问题是数学中基本的非常重要的问题，它对于区间概念的推广有着本质的意义。集合的测度概念在函数论、概率论等众多方面有着广泛应用。1984年，E.Borel在他的一篇论文中着重讲述了Lebesgue外测度作为一种估计集合“大小”的工具来构造一些病态函数；另一方面，1904年，Lebesgue本人对运用Lebesgue测度建立积分发生兴趣。这两方面的测度理论都非常重要。
1919年，C.Caratheodory在一篇讲述测度知识的文章中第一次介绍了Hausdorff测度，而且Caratheodory发展了n-维Euclidean空间中线性测度的有关理论，并清楚地给出了在q-维空间中p-维测度的情形，这里p=1、2、……q。然而，对一般正实数p的p-维测度理论却是有Hausdorff在1919年给出的，而且他还运用自己建立起来的测度理论给出了在分形维数为时三分Cantor集的例子。自从1919年之后，Hausdorff测度理论在A.S.Bescovitch和他的学生的工作下取得了很大的进展。
《实变函数与泛函分析概要》一书对一维Lebesgue测度作了详细的介绍，在本篇论文中对与高维Lebesgue外测度性质相关的s维Hausdorff测度进行了类推，并且得到了n维Euclidean空间中，Hausdorff测度与Lebesgue测度的关系。
本文内容如下：
第二部分：给出了在证明中常用的一些定义，如：Hausdorff测度、Lebesgue测度、外测度、覆盖、坐标块、Borel集、正则、Vitali-覆盖等。并证明了Hausdorff测度为外测度，而且是度量外测度、Vitali-覆盖引理、Caratheodory引理和Hausdorff测度连续性等几个在证明主要结论中将要用到的结论。
