积分中值定理的“中间点”总位于区间正中间的函数类的存在性和唯一性

积分中值定理的“中间点”总位于区间正中间的函数类的存在性和唯一性

【摘 要】对闭区间上的连续函数应用积分中值定理，“中间点”在该区间的何位置取得是不确定的。那么是否存在一类函数使得此“中间点”总在该区间的正中间取得？本文阐述积分(第一)中值定理的导出和改进；通过改进的积分(第一)中值定理说明积分(第一)中值定理和微分中值定理的关系；研究推广的积分(第一)中值定理“中间点”的渐进性；得出并证明本文的核心结论：设函数在区间内有二阶连续导数，且, 0,则对在内任意区间上应用积分中值定理所求得的点总位于该区间正 间的充要条件是在内是一次函数。

【关键词】积分中值定理 中间点 定积分 可积 微分中值定理

前言

积分中值定理是微积分学中的一个重要定理，自17世纪微积分面世直到现在，人们对积分中值定理的研究从未停止过。近几年，对积分中值定理的研究主要集中在两个方面。

第一是对积分中值定理的改进。微分和积分可看作是互逆运算的两种运算，因此，它们之间自然有着紧密的联系。依常理推想，微分中值定理和积分中值定理之间也应有着某种天然的内在联系。但在一般数学教材的叙述和证明中，我们不仅看不到这两个定理之间的联系，还会产生一些困惑：积分(第一)中值定理的证明不依赖于微分中值定理而依赖于介值定理；积分(第一)中值定理的“中间点”属于闭区间，而不是像微